最近几十年来，国内只出书了很少的几种对于大学数学课程的专科科普读物，这远弗成知足广大学习数学的大学生们的进犯需要。与中学里教的初等数学比拟，大学数学的内容实在是太丰富和太复杂了，它凝合了四百多年来东说念主类最明智的大脑所创造出来的极其优好意思的灵敏收场。与别的学科统统不同，数学主要斟酌的是详尽的“模式（pattern）”而不是具体什物或气象ai换脸 视频，它具有极其漫长的发展历史。大学数学作为天然科学和社会科学的基础，照旧在许多畛域里起注重要性的作用。
大学数学名义上比较严谨和败兴的课程内容，往往粉饰了极其丰富的想想内涵。数学家卡斯蒂（J. L. Casti） 也曾说过：“在数学中，要请教真义是极其艰巨的，数学表面的景色化的述说并莫得讲清一齐的真义。”在大学数学的教学中东说念主们缓缓发现，惟有按照数学发展的措施来学习和教学数学，也即是将数学想想缓缓演进的历史历程与数学课程体系中严格的逻辑推理历程有机地连接起来，补充上普遍的具体例子，以及在数学表面形成历程中被断念的中间发展要领，本领使入门者们着实领略在高超详尽的数学观念与定理的背后的深化想想内涵。数学史是学习与传播当代数学的极好路线。借助于数学史，不错让东说念主们了解历史上数学家们朴素而又深化的数学想想，是如何一步步发展成为今天蔚为大不雅、分支宽绰，且又十分详尽的当代数学表面的。
这就相称需要咱们在老例的课堂教学除外，提供给大学生们一定数目的对于大学数学的专科科普读物，来加深他们对于教科书中深沉的数学想想的领略。本文所先容的《数学概不雅》即是这么的一册对于大学数学的认果真优秀科普读物，它充分地讹诈了数学史的不雅点与材料，来诠释大学数学中最基本的数学想想。《数学概不雅》翻译自瑞典知名数学家戈丁（Lars Gårding）写的《Encounter with Mathematics（遭受数学）》一书，这本书的英文原版由Springer-Verlag出书社在1977年出书。戈丁是一位分析学的巨匠，他在分析学畛域有许多树立，举例在偏微分方程表面中有一个知名的不等式“戈丁不等式（Gårding’s inequality）”即是以他的名字定名的。高档栽培出书社在2001年也曾翻译出书过戈丁写的另一册数学著述《分析学中的几许问题偏激历史》。
《数学概不雅》的译者是我国知名数学史大众胡作玄先生。践诺上，科学出书社早在1984年就出书了这个中译本，其时的封面（它比较接近英文原版的封面）是：
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图1：《数学概不雅》1984年中译本封面
戈丁在《数学概不雅》的引子中，这么先容了他写此书的主见：
““我写这本书是给照旧知说念一些数学的读者看的，卓著是给读完高中以后在学习大学一年事的学生看的。本书的主见即是要给大学低年事学生所碰到的数学内容提供历史的、科学的以及文化的基本框架。从“数论”到“应用”这九章即是为达到这个主见而写的。每一章的运行皆有历史的小序，接着对于一些基本领实进行紧凑而完备的叙述，一直谈到所研讨的内容确面前情景；如果可能的话，也要触及一些近代的斟酌责任。大多数章节皆援用历史上的数学论文中的一两段话来收尾。”
”在2001年，科学出书社妥当将《数学概不雅》列入了“数学名著译丛”丛书，其封面变成了面前的封面：
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图2：《数学概不雅》2001年版的封面
《数学概不雅》一共有12章，除了第一章和终末一章简要先容了数学模子和数学教学方法，以及只叙述微积分历史的第六章外，其余的九章分辩讲了初等数论、详尽代数、线性代数、泛函分析、拓扑学、微积分、微分流形、概率论和数值诡计（数学应用）等课程中最基本的想想方法。底下按照该书章节的措施，对《数学概不雅》中所先容的内容，作一些粗浅的证据与分析。
一、数论的基本想想《数学概不雅》的第二章主要先容了初等数论和代数数论中最基本的想想。该书先是以洞开的笔触先容了素数定理、费马小定理和二次互反律等最经典的初等数论内容，然后以高斯整数为切进口，粗浅讲了代数数和代数整数等代数数论里最基本的观念，况兼用线性方程组解的基本定表面证了代数数（代数整数）的整数倍、和以及乘积也皆是代数数（代数整数）。
践诺上，代数数论是初等数论最天然的推论，而代数数论又是详尽代数的一个胜利的想想开首和应用场面。学生们在后头学习极其重要的详尽代数课程时，遇到的一个主要艰巨是嗅觉内容比较缺乏与极点详尽，原因即是他们从来莫得学过最基本的初等数论和代数数论，不了解详尽代数表面的直不雅布景。举例“原根”是初等数论内部一个很基本的观念，然则领略起来有些艰巨，然则如果从群论的角度来看原根，就变得比较粗浅和相称明晰了（原根是单元群的生成元）。反过来，原根的观念也不错匡助学生更好地学习和掌执群论的想想方法。
面前大多数大学的数学系在低年事皆不开设数论方面的课程，这其实不利于学生在以后学习详尽代数以偏激他当代数学方面的课程。恰是因为这个原因，十多年前知名数学家冯克勤诚实在担任清华大学数学系主任的时间，就制定了将初等数论课程作为一年事数学基础课程的教学筹谋。学生们学了初等数论后，就不错在以后进一步学习代数数论妥协析数论这两门课程，从而为参预当代数学的殿堂作好准备。这是因为数论畛域面前照旧成为了普遍当代数学表面的应用场面，用以老师这些数学表面的灵验性，举例算术（代数）几何即是将代数几何的方法讹诈到数论里而产生的一个新的分支学科。又如在数论中斟酌知名的黎曼zeta函数的时间，需要讹诈复变函数论的方法等等。
二、详尽代数的基本想想《数学概不雅》的第三章主要先容了详尽代数中最基本的想想方法。作家按照详尽代数历史发展的路线，先是简要请教了与环论密切预计（亦然比较容易领略）的多项式表面，从中得出环的基本观念与性质。与环访佛的重要观念是域的观念ai换脸 视频，作家重心诠释了代数元素、想象、诺特环等最基本的观念，还先容了在代数几何里很重要的希尔伯特零点定理。接下来，作家翔实地先容了群论中常用的一些基本观念和预计论断，甚而还讲了伽罗瓦表面中比较深沉的基本定理，使读者简略对群论的内容偏激作用有一个初步的了解。
面前，详尽代数照旧发展成为了当代数学中一个巨大的畛域，它包括了线性代数、群论、环论、域论、模论、李群、交换代数、同调代数、暗示论、畛域论瓜分支学科，它不仅为一齐数学提供有劲的用具，而且在物理学、化学、诡计机科学、适度论等学科中有闲居的应用，因此详尽代数在总计这个词数学系课程体系中的地位也变得越来越重要。
在上个世纪初，“代数学”一词主若是指经典的代数方程表面，而到了上世纪的中世，代数学才分红了经典代数和详尽代数，前者即是代数方程表面，后者则包含了对于群、环和域等代数结构的表面。古典的代数方程表面在夙昔是数学系的一门课程，自从上世纪60年代详尽代数参预大学数学系的课程后，它就不再讲了，关联词代数方程表面属于学生应该知说念的近代数学学问，不了解这些学问就弗成更好地领略详尽代数课程的内容。
在历史上，群论和域论的最基本观念皆发源于对代数方程表面的斟酌。具体来说，群论和域论发源于法国数学家伽罗瓦在斟酌一元代数方程的解是否有根式暗示问题时所作出的重要发现，他发现不错将复杂的扩域问题飘浮为比较粗浅的具有对称性的置换群结构问题，从而透顶经管了5次及以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同期，东说念主们在斟酌数论（卓著是证明费马大定理）的历程中，以谢忱金为代表的一些数学家缓缓形成了环的想象表面。到了20世纪的20年代末，数学家范德瓦尔登写出了经典名著《代数学》，它系统总结了详尽代数的基本表面，对当代数学的发展影响极大。关联词缺憾的是，在范德瓦尔登的《代数学》中，并莫得给出详尽代数表面的形成历程，许多自后写的详尽代数的教科书基本上延续了这种作念法，这给学生们学习和领略详尽代数形成了不小的艰巨。面前海外照旧有一些优秀的详尽代数教材运行改良这种不讲前因后果的讲法，充分地解释详尽代数表面的多样想想开首和应用，举例由数学家M. 阿丁（M. Artin）编写的《Algebra（代数）》（有机械工业出书社的影印本和翻译本）即是这么的一册好教材。
三、线性代数（高档代数）的基本想想《数学概不雅》的第四章的前半部分主要先容了线性代数中最基本的想想。作家在这一章的伊始这么强调了线性代数的重要性：“如果不熟谙线性代数的观念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习天然科学，面前看来就和文盲差未几，甚而可能学习社会科学亦然如斯。”
探花91作家最初讲了线性代数的三个开首：欧氏几何、判辨几何与线性方程组。该书用一种比较等闲的方法翔实论证了对于线性方程组解的基本定理，然后讲了线性映射的观念，以及它们的矩阵暗示，还先容了逆矩阵、行列式和特征多项式等基本观念。对于最基本的线性空间观念，作家在意于诠释其中向量的线性关系，以及基向量的重要性。该书仔细地先容了线性变换的基本表面，其中就包括了不变子空间和特征值等内容。
在海外，线性代数课程的内容大致分为了两大部分：第一部分（初等线性代数）包括了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部分（高档线性代数）则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等比较详尽的内容。海外的一些教材往往将第二部分放在详尽代数中来讲，举例前边提到的那本由M. 阿丁写的《Algebra（代数）》即是这么作念的。这从一个侧面证据了学生们在学习第二部分时会遇到某些艰巨的着实原因：线性空间和线性变换是从多样具体的线性空间和线性变换中详尽出来的两个一般的代数观念，线性空间与线性变换的表面在实质上是一种代数结构的表面，具有一定进度的详尽性。
在历史上，线性空间与线性变换的表面大致出面前了20世纪初，东说念主们在斟酌积分方程的求解问题以及预计的泛函分析问题时，逐渐产生了线性变换的特征值的观念，这个观念是矩阵特征值观念的深化推论。举例在积分方程的斟酌中，需要诡计访佛 这么的线性变换的特征值，其所对应的特征向量不错用来构造预计的积分方程的解，这里的
《数学概不雅》的第五章主要先容了极限论与拓扑学中最基本的想想。作家在本章中ai换脸 视频最初先容了德国数学家谢忱金如何为实数表面竖立了一个公理体系，从而为微积分和数学分析表面奠定了严格的逻辑基础。在数学分析的教材中，大多对跋扈数的谢忱金分割界说讲得比较详尽，关联词在本书中，作家却讲得比较等闲而明晰。有了实数的严格界说和最小上界（即上确界）公理，就简略义正辞严地给出数列极限的
不仅如斯，作家在本章还进一步先容了与极限论密切预计的拓扑学方面最基本的一些学问，这其中就包括了开集、闭集和紧集的观念。该书用比较等闲的话语诠释了拓扑空间、邻域、同胚、连通等重要观念，况兼作为拓扑学方法的示范，还仔细解释了代数学基本定理的拓扑证明方法和斟酌代数弧线的黎曼曲面方法。
之是以要在讲微积分前系统地诠释晰极限的表面，主若是想为总计这个词微积分和数学分析课程打好一个坚实的数学表面推理的基础。历史上在微积分表面发展了快要两百年后，才冉冉出现了严格的极限表面。极限论的主要主见是为了经管在求微分或导数、求积分、以及判别级数的敛迹性时出现的多样艰巨问题。举例，是不是贯穿函数皆可微？若一个函数在每少量可微，那么它的导函数是否贯穿？在历史上还也曾出现过令东说念主震恐的贯穿但不可微函数的例子。为此必须仔细地检会导数的界说偏激基人道质，以及斟酌函数的贯穿性，而不是只是依赖于“贯穿”的直不雅形象。在此之前就势必要引入函数极限的严格界说，也即是函数极限的
践诺上，
在第七章讲微分学之前，《数学概不雅》尽头安排了只讲历史的第六章“英杰世纪”，来简要请教以牛顿和莱布尼茨为代表的一批17世纪数学家创造微积分的迂曲历程，从中强调了微积分不是惟有粗浅的微分与积分两种运算，而是具有从无尽细分再到无尽累加的极其精密的想维特征，况兼还包含了几何学景仰上的要紧打破，这套十分优好意思的微积分表面是在经管普遍的几何学与物理学斟酌问题的历程中繁重出生的。
第七章的伊始部分先讲了导数和微分律例，此时为了证据微分学的用处，作家先容了一些对于常微分方程的内容，具体来说是通过解一些最粗浅的常微分方程，来推导出开普勒的行星三大定律，这充分显现了微积分在经管践诺问题中的巨大威力，同期也读者简略比较深入地领稍许分学方法的精髓。
然后作家仔细诠释了中值定理和反函数的可微性定理。有了中值定理，就不错用它和第四章讲的压缩映射定理，来严格地证明常微分方程解的存在性和惟一性定理，使读者看到了中值定理和压缩映射定理的着实用处。
接下来，作家讲了十分基本的多元函数微分法。讹诈中值定理就不错摧残地证明多元函数的总计二阶偏导数皆卓著。书中还先容了很重要的多元函数的泰勒公式、链式律例和雅可比矩阵，以及它们的用处。
为了证据多元函数微分法的用途，作家还卓著安排了一节来尽头诠释偏微分方程的基本观念，这是十分果敢而又正确的作念法。这是因为多元微积分中的许多内容其实主要即是在为解偏微分方程作准备的（天然也为其他一些数学课程作准备），举例预计弧线积分与曲面积分的高斯公式（即散度定理），即是斟酌斡旋方程解的性质的有劲用具。合适地先容少量偏微分方程的学问，不错灵验地减少学生在学习多元微积分时的盲目性。在这里作家只讲了弦振动方程和热传导方程这两个最粗浅的线性方程，证据了它们的解的观念，以及解的基人道质，由此不错进一步激勉起读者学习多元函数微分法的兴味。
在历史上，许多触及洞开与演化的数学、物理和时间问题的斟酌皆不错化归为微分方程的求解问题，这是因为反馈天然规则的量与量之间函数关系往往弗成胜利写出来，而此时却比较容易竖立这些变量与它们的导数（或偏导数）之间的关系式。天然一般来说，绝大多数的微分方程皆是比较难以求解的，然则对于学生来说，重要的是掌执一些处理微分方程问题最基本的想想方法，而不是着眼于求解某一类具体的微分方程。
七、积分学与实变函数论的基本想想《数学概不雅》的第八章主要先容了积分学与实变函数论中的一些最基本的想想方法。在讲积分学时，作家最初从相称直不雅的诡计面积和体积的问题运行讲起，先从曲边梯形面积的导数诡计，胜利得出牛顿-莱布尼茨公式。然后作家翔实地张开对于黎曼积分的界说偏激性质的叙述，卓著是常用的积分号下求导数、累次积分、广义积分等内容，重心是诠释积分号下求导数，以及适度敛迹定理。接下来作家讹诈这个适度敛迹定理和分部积分公式，来推导证明很基本的傅里叶反演公式，况兼还先容了与此预计的广义函数和斡旋分析的一些想想。
学生们在学习含参变量的积分这部老实容时，往往不睬解像积分号下求导数这类运算究竟派什么用处。作家在这里所举的傅里叶反演公式的例子即是这方面的一个典型示程序子，学生们不错从中学到一些很有用的分析手段。
在讲实变函数时，作家从高维空间
实变函数论里的重心是勒贝格积分的表面。咱们知说念，数学分析中的黎曼积分适用于基本上贯穿的函数。为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像斡旋分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科皆需要竖立在勒贝格积分表面的基础之上。然则另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理愈加精密和艰深，因此学生们学习与领略起来也愈加艰巨，这就需要让学生们增多一些对于实变函数论的前因后果的了解。
八、微分流形的基本想想在《数学概不雅》的第七章和第八章中，作家还在意先容了微分流形表面所包含的一些最基本的想想方法。微分流形的观念最早发源于3维欧氏空间里的光滑弧线与光滑曲面。从20世纪初运行，法国数学家庞加莱发现了微分流形的一些拓扑不变量：同调群和同伦群，另外一位法国数学家E. 嘉当对一种被称为“李群”的极端微分流形和微分景色的表面进行了深入的斟酌，同期德国数学家外尔又竖立了对于黎曼曲面的表面，总计这一切才使得微分流形的观念冉冉地澄澈起来。跟着拓扑学和举座微分几何的快速发展，轻便到了20世纪的中期，就形成了咱们今天所说的微分流形表面，也即是微分流形上的微积分表面。
粗浅地说，微分流形即是一种详尽的拓扑空间，它在局部不错与欧氏空间同胚，况兼在举座上还覆盖了一组坐标卡，这么就赋予了流形一个微分结构。这个极为详尽的观念凝合了几百年来数学发展的最精华的收场，为20世纪当代数学的大发展提供了一个庞大的舞台。面前，微分流形的表面照旧被讹诈到了数学与物理的许多分支学科中，其中就包括了黎曼几何、偏微分方程、拓扑学、李群、能源系统、莫尔斯表面、辛几何、黎曼曲面表面、复流形、代数几何、相对论与表面物理。
在微分流形的表面中，需要将经典微积分景仰下的微分景色推论至微分流形上的微分景色。作家在第七章的终末部分里，从格拉斯曼代数开拔，翔实地先容了
接着，作家从
在研讨积分学的第八章的终末部分，作家还先容了微分流形上的积分方法，以此来重新团结表述经典微积分里的弧线积分与曲面积分，并最终获得了微分流形上一般的斯托克斯公式
在《数学概不雅》的第九章中，作家主要讲了数学分析中的级数论，以及复变函数论最基本的想想。作家最初回归了数项级数敛迹与发散的基本观念，然后在意研讨了函数项级数，卓著是给出了证明知名的阿贝尔定理的翔实历程。接下来作家重心先容了幂级数的基本表面，其中就包括了敛迹半径的观念，况兼从这里开拔，进一步请教用单复变量幂级数来界说判辨函数的经典方法。复变函数论的这个相称天然的引入方法是由德国数学家魏尔斯特拉斯始创的，它深化揭示了判辨函数的基人道质。
在经典微积分表面里所处理的函数主若是实函数，然则当咱们将微分与积分的表面平行地推论到复函数时，就形成了一门新的表面——复变函数论，这个新表面与原来的微积分比拟，内容不仅愈加丰富多彩，而且表面上也愈加完好。这个新表面践诺上开导了通往当代数学的说念路，并最终产生了黎曼曲面、拓扑学和复几多么基础学科。
在本章的后头部分，作家从函数濒临论的角度，初步先容了傅里叶级数的观念偏激基人道质。不管是从表面发展上看，如故从践诺应用的角度看，傅里叶级数皆长短常重要的。
十、概率论的基本想想《数学概不雅》的第十章主要先容概率论中最基本的想想方法。早期的概率论只研讨比较粗浅的古典概型。到了20世纪，微积分表面通过贯穿赶紧变量这一重要的路线而参预了概率论畛域，并进而产生了数理统计这门学科，东说念主们运行发现概率论和数理统计在天然科学和社会科学中具有普遍的应用。
作家在本章中先粗浅地讲了古典概型的一些基本观念，然后很快转入对赶紧变量偏激漫衍函数的先容，重心诠释了赶紧变量的期许、方差和特征函数等基本观念偏激诡计方法。接撰述者研讨了赶紧变量的和、大数定律和中心极铁情绪等内容，况兼还先容了数理统计的基本想想，即通过弄明晰依赖于一组独处赶紧变量的统计量（亦然赶紧变量）的漫衍函数，就简略针对践诺问题中给出的论断进行统计推断（点推测和假定老师）。本章的终末先容了概率论对于描摹物理学中布朗洞开的一个应用。
十一、数值诡计与数学应用中的基本想想在《数学概不雅》的第十一章中，作家还先容了数值诡计与数学应用最基本的想想。作家先比较翔实地先容了数值诡计表面中最基本的一种诡计方法——差分法，它不错用来诡计微分方程的近似解。差分法的基本想法是将微分方程变成差分方程，从而不错形成迭代序列，因此这种方法卓著适合在诡计机上讹诈。
作家在本章中，还翔实地给出了物理学中对于声息的一个数学模子问题的经管历程，这个数学模子被归结为解一个偏微分方程。作家想以此来证据在应用数学中经管践诺问题时所衔命的一般要领。
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